Родился 15 июля 1919 года в станице Челбасской Краснодарского края. Русский. Член КПСС с 1944 года. После окончания семилетней школы работал начальником пожарной команды. В Красной Армии с 1940 года. 

В октябре 1941 года Григорий Моисеевич принял первый бой с немецкими захватчиками. Участвовал в обороне Севастополя, был ранен. После лечения в госпитале он вновь вернулся на фронт, участвовал в освобождении Крыма.

9 мая 1944 года в бою за освобождение Севастополя старший сержант Г.М. Дуб заменил раненого командира взвода. Во время атаки сильный пулеметный огонь двух замаскированных дотов заставил батальон залечь. Тогда Г.М.Дуб по собственной инициативе, взяв двух бойцов, прополз под сильным огнем противника к дотам. Гранатами и автоматным огнем уничтожил пулеметчиков и охрану дота. Затем вынес из него уцелевший крупнокалиберный пулемет противника и открыл огонь по наседавшим на него гитлеровцам, при этом уничтожил 11 немцев, обратив остальных в бегство. Отразив атаку, Григорий Моисеевич Дуб перенес огонь на соседнюю огневую точку противника, которая мешала продвижению батальона, и уничтожил ее. Поднявшийся в атаку батальон начал преследовать отступающих гитлеровцев и быстрым, энергичным броском вступил в Севастополь.

Звание Героя Советского Союза Григорию Моисеевичу присвоено 24 марта 1945 года.  

После окончания Великой Отечественной войны Г.М.Дуб жил в станице Крыловской Ленинградского района, работал председателем сельского совета, техником в ГВФ.

Умер в 1994 году. Похоронен в станице Крыловской. 

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Отечественной войны, орденом Красной Звезды, медалями.

Из книги А.Казаряна «Герои боев за Крым»:

Севастополь …

Второй раз к нему привела Григория фронтовая дорога. Тогда, в 1941 году, он отступал сюда от Сиваша. Принял участие в героической защите города. Его тяжело ранило. Незнакомый моряк вынес красноармейца из окопа. Потом - теплоход «Абхазия», Большая земля, госпиталь.

…Стрелковый полк остановился перед одной из укрепленных высот. Особенную опасность представляли стоящие на ней два мощных дзота. Их надо было ликвидировать. Это было поручено Григорию Дубу. Он подобрал четверых - Турнусова, Безарова, Играшева и Адышева. Ночью подползли к немецким позициям и проникли в траншею, уничтожили охранение и пустили в ход противотанковые гранаты.

Воспользовавшись замешательством врага, полк сделал рывок и завладел первой линией траншей.

На следующую ночь Григорий с теми же бойцами повторил свой манёвр на другом участке фронта …

Немало трудных фронтовых дорог исходил еще отважный воин и вернулся в родную станицу Крыловскую на Кубани.

Имя Г.М.Дуба присвоено МБОУ СОШ № 4 станицы Крыловской муниципального образования Ленинградский район.